五年級談“平行四邊形的面積” 教學中的教學提問－英國皇家教育學院 Royalties Academy

在“平行四邊形的面積”一課的教學中,教師為了強化學生對平行四邊形面積公式的理解,經常會在總結的時候問這樣一個問題:

“誰能說一說,要想求出平行四邊形的面積,就必須知道什麼條件?”

學生對這個問題幾乎一致的回答是:“必須知道這個平行四邊形的底和高。”

小學數學課堂上,這樣的師生問答非常普遍。教師問得好,可以啟發學生思維,使學生形成正確概念;問得不好,就可能禁錮學生的思維,甚至導致學生形成錯誤概念。

前面這一問一答,連起來說,就是:要想求出一個平行四邊形的面積,就必須知道這個平行四邊形的底和高。

這個結論或許會使學生形成這樣一個思維定式:只要遇到求平行四邊形面積的問題,就必須先求平行四邊形的底和高。如果求不出底和高,自然就求不出平行四邊形的面積。這樣一來,學生如果遇到下面的問題,可能就無從下手了。

問題:在下圖中,三角形ABE的面積為24平方cm,求平行四邊形ABCD的面積。

●要求出長方形的周長,就必須知道這個長方形的什麼?(答:長和寬)

●圓錐和圓柱的體積在什麼條件下存在三分之一的倍數關係?(答:等底等高)

●要求一個小數的倒數,就必須先把它化為分數。

為了說明這種語言的問題所在,下面我從邏輯和數學兩個方面進行分析。

從邏輯的角度看,一個命題(在邏輯學中稱為“判斷”)與它的逆否命題是等價的,它的逆命題與它的否命題是等價的。但命題與它的逆命題和否命題並不等價。這就是說,一個真命題的逆命題和否命題未必是真的。根據平行四邊形面積公式,可以知道命題——如果已知一個平行四邊形的底和高,則可以求出這個平行四邊形的面積——是真的。其逆命題和否命題分別是:如果可以求出一個平行四邊形的面積,就一定知道這個平行四邊形的底和高;如果不知道平行四邊形的底和高,就無法求出這個平行四邊形的面積。這樣的結論與原來的命題並不等價。老師將求解面積的一條途徑簡單化為唯一途徑,極容易給學生造成錯誤認識。事實上,能用公式求出面積的平面圖形是很少的,更一般的方法是尋求圖形面積之間的關係。比如在前圖中,只要看出平行四邊形ABCD的面積是三角形ABE面積的2倍,問題就可以迎刃而解了。

平行四邊形面積公式“面積=底×高”,在數學中可以看作是一個函數關係。函數通常描述引數和因變數之間的依賴與制約關係,體現的是當引數確定的時候,因變數隨之確定。反過來卻不一定成立,就是說當因變數確定的時候,引數未必隨之確定。

在“面積=底×高”這一函數關係中,底和高是引數,面積是因變數,當底和高確定的時候,則面積隨之確定;反過來,當面積確定的情況下,底和高未必能夠確定。

教師在課堂上提問,其根本目的在於促進學生思考。因此不妨把提問設計得寬泛一些,讓學生有充分的思考空間。在教學平行四邊形的面積公式之後,如果提出如下問題供學生思考,也許會得到更好的效果。

1.如果兩個平行四邊形等底等高,那麼這兩個平行四邊形的面積具有什麼樣的關係?

2.如果兩個平行四邊形面積相等,那麼這兩個平行四邊形的底和高具有什麼樣的關係?

3.在同一個平行四邊形中,底、高、面積三者滿足什麼關係?

第一個問題體現的是函數關係中引數對因變數的制約,也就是函數的確定性;學生對第二個問題的思考,可以初步體會因變數對引數不具有這種確定的制約,只能得到兩個平行四邊形底和高的乘積相等;第三個問題相當於對前兩個問題進行了綜合和總結。學生對這三個問題進行充分思考和討論,可以更加準確地理解本節課的學習內容,而且還可以經歷邏輯思維的訓練以及函數思想的滲透。

任何教學方法的順利實施,都依賴于教師在課堂上的教學語言。教師在課堂上的每一句話都或多或少地對學生產生著影響。因此,教師無論具備了多麼先進的教育思想,採用了多麼先進的教學方法,都應該慎重地對待課堂上教學語言的設計,特別是“提問式”和“結論式”的語言,一定要做到“慎之又慎”,即使小學教學也不例外。