打破常規巧妙解題－英國皇家教育學院 Royalties Academy

在解答應用題時，應該注重變通性思維。在分析題意時，如果能打破常規思維束縛，及時變換新的角度，進行分析思考，往往能探索出新的解題途徑。

例1、一個高是10cm的直圓柱，把它的底面分成若干個相等的扇形，再把圓柱切開拼成和它等底等高的正方體，求正方體與圓柱體表面積相差多少？

分析與解答：此題如果按常規思路分析，需要先分別求出正方體和圓柱體的表面積，然後再求出表面積相差多少。這樣解答必然會陷入繁瑣而複雜的計算中，如果打破常規思路的框框，換一個角度去思考，從圓柱體變為正方體的變化過程和變化結果去仔細對比分析，則會收到較好的效果。

因為圓柱體變為正方體後，正方體上下兩個面正好是原來圓柱體的上下兩個底面，正方體的前後兩個側面正好是原來圓柱體的側面，而正方體左右兩個側面則是原來圓柱體沒有的，因此只要求出正方體左右兩個側面，問題就解決了。因為這個圓柱高為10cm，把它的底面分成若干個相等的扇形，再把圓柱切開拼成了一個和它等底等高的正方體，因此可得，這個正方體的六個面均是棱長是10cm的正方形，從而可求出正方體與圓柱體表面積相差：10×10×2＝200（平方cm）。

例2、五年級學生去植樹，如果按1名女生和2名男生為一組，則女生分完後還剩8名男生；如果按1名女生和3名男生為一組，則男生分完後還剩10名女生。問參加植樹的男、女生各有多少人？

分析與解答：因為按1名女生和 2名男生為一組，女生分完男生還多10人，因此可知，男生人數是女生人數的2倍多8人。又因為按1名女生和3名男生為一組，男生分完後還剩10名女生，因此又可知，男生是女生的3倍少30（3×10）人。因此可得，女生人數為：（8+ 3×10）÷（3 -2）= 38（人）。男生人數則為：38×2 + 8 = 84（人）。或：（38 -10）×3 = 84（人）。

例3、甲、乙和丙三人去旅行，行程為75km，甲與丙乘車以每小時25km的速度前進，而乙則以每小時5km的速度步行，經過一段時間後，丙下車改步行，每小時也行5km，而甲則駕車返回將乙載上後掉頭繼續前進，且與丙同時到達目的地，問此次旅行時間為幾小時？

分析與解答：假設甲和丙一直駕車到達目的地，所用時間為：75÷25 = 3（小時）。而乙一人步行到達目的地則要：75÷5 = 15（小時）；這樣可得三人共用的時間為：15 + 3 = 18（小時）。因此可知此次旅行所用的時間為：18÷3 = 6（小時）。

例4、某校組織學生參加植樹活動，共有250人參加植樹，計畫每個男生植樹15棵，每個女生植樹12棵，後來抽調了男生的 20%去進行其它的勞動，其它同學都按計劃完成了自己的任務。問同學們一共植樹多少棵？

分析與解答：這題因為未曾告訴男女學生的具體人數，如按常規思路求解似乎缺少條件而無從下手。但認真分析這題可發現，題目中隱含著如下的數量關係：不管男生有多少人，抽出男生的20% ，男生實際植樹的總棵數比計畫植樹的總棵數少20% ，因此也可理解為每個男生少植樹計畫植樹棵數的 20%。由於每個男生計畫植樹15棵，少植 20% ，男生實際每人只植樹：15×（1 － 20%）= 12（棵）。正好和女生每人植樹的棵數相等，因此可得同學們一共植樹的的棵數為：12×250 = 3000（棵）。

例5、某人從甲地出發，越過一座山到乙地去，整個路程共27km，且都是上坡路和下坡路，共用了7小時,又知道他上山每小時行3km,下山每小時行4.5km,照這樣計算,他由原路從乙地返回甲地要用幾小時?

分析與解答：因為這個人是“原路返回”，因此可知道，他去時走的“上山”路正好是回來時要走的“下山”路，同樣，他去時走的“下山”路正好是回來時要走的“上山”路。因此，從整體上看，他往返一次所走的“上山”路和“下山”路都恰好是27km（分別各為一個全程）。

因此可得，他往返一次所花的總時間應當是：

27÷3＋27÷4.5＝9＋6＝15（小時）

而他去時共用了7小時，從往返一次所花的總時間減去去時的時間，即為由原路從乙地返回甲地用的時間，因此可得，他由原路從乙地返回甲地用的時間為：15－7＝8（小時）。

例6、某工人計畫加工一批零件，第一天生產了總數的10%，第二天生產的比餘下的 1/9 多15個，還有65個沒有生產，求第二天生產了幾個零件？

分析與解答：因為第一天生產了總數的10%，因此可將這批零件平均分成10份，第一天生產了其中的1份，這時還剩下9（10－1）份，第二天生產的比餘下的1/9多15個，因此可得第二天生產了其中的1份多15個，這時還剩下這批零件的8（9－1）份少65個，因此可得這批每份的零件的個數為：（65＋15）÷8＝10（個）。所以可得第二天生產的零件個數為：10＋15＝25（個）。　